안녕하세요, 효온민입니다.
앞으로는 '선형 동차 무손실 음향 파동 방정식(Linear Homogeneous Lossless Acoustic Wave Equation)'에 대한 내용을 다루어보려고 합니다.
이 파동 방정식은 음향 파동 방정식 중에서 가장 간단한 형태의 파동 방정식으로, 유효 진폭이 작고(압력의 변화가 작고) 손실이 없는 음파의 거동을 기술하는 방정식입니다.
이 식을 통하여 가장 간단한 형태를 가지는 음파의 음압 분포와 거동을 예측할 수 있습니다.
따라서, 정말 중요하면서 재미있는 내용입니다.
오늘은 음향 파동 방정식을 유도하기 위한 첫 번째 시간으로, 압축성 유동하는 비점성 유체에서의 비선형 연속 방정식(Nonlinear Continuity Equation)을 유도해 보려고 합니다.
연속 방정식은 음향 파동 방정식의 지배 방정식으로서, 유체 매질로 가득 찬 검사 체적 내 유입 질량과 유출 질량의 차가 시간에 따른 검사 체적 내 총 질량 변화와 같음을 규정하는 미분 방정식입니다.
유체 매질을 통해 음파가 전파할 때, 정의된 검사 체적 내에는 매질 내 입자의 섭동에 따른 질량의 유동이 발생하게 됩니다.
이러한 질량 유동을 연속 방정식을 통하여 정의하고 규정할 수 있으니, 이 연속 방정식이라는 건 정말로 중요한 것입니다.
그러니깐 오늘 글도 꼭 집중해서 읽어주세요.
시작하겠습니다.
우선 한 가지 알아두셔야 할 게 있습니다.
유체 매질의 질량은 도대체 어떤 물리량들의 조합으로 정의될까요?
다들 아시겠지만, 질량은 매질의 밀도와 속도와 부피의 곱입니다.
유체 매질의 총 질량을 m이라 하고 밀도를 ρ, 입자 속도를 u, 미소 부피를 dV라 한다면, m=ρudV인 것입니다.
이를 토대로, 아래와 같이 부피가 dV=dxdydz인 정사각형체 검사 체적에 각각 dx, dy, dz의 방향으로 질량 유동이 발생하는 상황을 가정해 봅시다.
검사 체적 dV의 내부에는 압축성 유동하는 비점성 유체가 가득 차있습니다. 따라서 유체 매질의 밀도와 입자 속도는 상수가 아니며, 부피만 상수입니다.
따라서 유입 질량은 pudV가 되고, 유출 질량은 공간의 변화에 따른 유입 질량의 변화로 정의됩니다.
x축의 방향으로 발생하는 질량 유동을 좀 살펴보겠습니다.
양 쪽으로 질량 유동이 발생하는 건 알겠습니다. 그럼 결과적으로 검사 체적 dV 내에 잔여하는 알짜 질량(검사 체적 내 질량 변화)은 어떻게 정의될까요?
간단합니다. 유입 질량과 유출 질량을 빼 주면 됩니다.
유입 질량과 유출 질량을 뺀 다는 것은, 즉 유동 질량의 차분을 구한다는 것은 결과적으로 질량의 변화량을 구한다는 것입니다.
따라서 dx의 방향으로 발생하는 알짜 질량 유동(=질량 변화)은 유입 질량 ρu_xdx와 유출 질량 ρu_xdx+∂/∂x (ρu_x)dx의 차분입니다.
[Eq. 1]
dx의 방향으로 발생하는 질량의 변화, 즉 잔여 질량은 유입 질량 ρu_xdx와 유출 질량 ρu_xdx+∂/∂x (ρu_x)dx의 차분입니다. Fig. 1에서 정의된 dx의 두 방향 유동 질량을 빼 주면 됩니다.
[Eq. 1 → Eq. 2]
우변 두 번째 항의 대괄호를 풀고 부호를 다시 정의하면, 유입 질량 ρu_xdx이 없어지고 공간에 따른 질량의 변화를 음수화한 값만 남는 것을 볼 수 있습니다.
[Eq. 2 → Eq. 3]
결과적으로 검사 체적 dV에 잔여하는 dx 방향 성분의 알짜 질량은 공간에 대한 유입 질량의 편미분을 음수화한 값입니다.
dy, dz 성분의 질량 변화도 동일합니다. 각 축 성분 유입 질량과 유출 질량의 차분입니다.
결과적으로 검사 체적 dV의 내에 잔여하는 총 알짜 질량은 dx, dy, dz 성분의 알짜 질량을 모두 더한 값입니다.
간단한 미분 연산자를 도입하여 dV의 내에 잔여하는 총 알짜 질량을 유도해 보겠습니다.
[Eq. 10]
검사 체적 dV에 잔여하는 총 알짜 질량은 dx, dy, dz 성분 알짜 질량의 합입니다.
[Eq. 10 → Eq. 11]
Eqs. 3, 7, 9의 결과를 Eq. 10에 직접 대입합니다. 세 값이 모두 음수이므로, 음의 부호로 묶어 합해줍니다.
[Eq. 11 → Eq. 12]
3차원 델 연산자(3D Del Operator, Eq. 13)를 이용하여 Eq. 11의 대괄호 안의 항들을 간단하게 해 줍니다. Eq. 11의 우변에서, 대괄호의 오른쪽에 곱해져 있는 축 성분 dx, dy, dz는 dV=dxdydz임을 이용하여 dV로 치환하였습니다.
Eq. 11에서 Eq. 12로 고쳐쓰는 과정에서 사용된 3차원 델 연산자는 아래와 같이 정의됩니다.
각 축 성분이 모두 포함된 편미분에서 이 연산자를 이용하면, 식을 보다 간단하게 만들 수 있습니다.
부피와 입자 속도가 일정하다면, 공간의 변화에 따른 질량의 변화는 시간의 변화에 따른 검사 체적 내 밀도의 변화와 같습니다.
즉 Eq. 12는 밀도를 시간 t로 편미분한 값과 같다는 것입니다.
[Eq. 14]
검사 체적 내 유체 매질의 입자 속도와 체적이 일정하다는 전제 하에서, 공간의 변화에 따른 질량의 변화(Eq. 12)는 시간의 변화에 따른 밀도의 변화와 같습니다.
[Eq. 14 → Eq. 15]
Eq. 14의 우변에 Eq. 12의 결과를 직접 대입합니다.
Eq. 15의 우변을 좌변으로 이항하고 부호를 다시 정의하면, 아래와 같은 미분 방정식이 유도됩니다.
이 식이 바로 압축성 유동하는 비점성 유체의 비선형 연속 방정식(Nonlinear Continuity Equation)입니다.
추가적으로 이 비선형 연속 방정식은 꼭 정사각형체 검사 체적이 아니어도, 임의의 벡터장이 포함된 체적 영역에서의 적분 방정식으로 그 형태를 변형하여도 동일한 결과를 보여줍니다.
여기서 지난번 올려드린 가우스 발산 정리(Gauss Divergence Theorem)가 사용됩니다.
아래 글을 참고하여 같이 봐주시면 도움이 되실 수도 있습니다.
Basic Mathematics(기초 수학) :: 가우스 발산 정리와 그린 적분 정리
https://acoustics-library.tistory.com/12
아래와 같이 표면적 S로 둘러싸여 체적 V를 가지는 임의의 평면 영역에서, 아주 작은 임의의 표면 요소 dS를 통하여 질량 ρu가 유동하는 상황을 가정해 봅시다.
이때도 마찬가지로, 시간에 따른 체적 dV 내 총 질량의 변화는 표면 S을 통한 순 질량의 유입과 같아야 합니다.
당연한 이치로, 표면을 통한 유입 질량에 의하여 체적 내 총 질량이 변화한다는 것은 의심의 여지가 없습니다.
바로 식을 세우겠습니다.
우선 시간에 따른 체적 dV 내 총 질량의 변화는, 시간의 변화에 따른 밀도의 변화를 영역의 체적에 대하여 삼중적분한 값과 같습니다.
편도함수는 시간에 따른 밀도의 변화를, 삼중적분은 이러한 밀도의 변화가 전 체적 영역에 걸쳐 이루어짐을 나타냅니다.
표면 S를 통한 순 질량의 유입은 조금의 조작이 필요합니다.
우선 Fig. 2에서, 노란색으로 색칠된 아주 작은 표면 요소 dS를 집중해서 볼 겁니다.
이 체적 요소와 이름이 같은 "벡터 dS"를 가정합시다. (노란색으로 색칠된 부분이 "표면 요소 dS"이고, 화살표 끝에 있는 dS가 "벡터 dS"입니다.)
Fig. 2에 나타나 있는 것과 같이, 벡터 dS의 방향은 표면 요소 dS와 상호 수직인 방향입니다.
따라서, 표면 요소 dS를 통한 순 질량의 유입은 벡터 dS와 유동 질량 ρu의 음의 곱을 표면적 S에 대하여 중적분한 값과 같습니다.
유입 질량의 방향과 벡터 dS의 방향이 반대이기 때문에 음의 부호가 붙는 겁니다.
시간에 따른 체적 dV 내 총 질량의 변화(Eq. 17)는 표면 S을 통한 순 질량의 유입(Eq. 18)과 같으므로, 아래와 같이 Eqs. 17, 18을 등식으로 취할 수 있습니다.
Eq. 20의 우변을 좌변으로 이항하고 부호를 다시 정의하면, 아래와 같은 미분 방정식이 유도됩니다.
이 식이 적분 방정식 형태의 비선형 연속 방정식(Integral Form of Nonlinear Continuity Equation)입니다.
가우스 발산 정리 (Eq. 22)를 사용하여 Eq. 21을 조작하면, Eq. 16과 Eq. 21이 완전히 같은 방정식임을 보일 수 있습니다.
[Eq. 21 → Eq. 23]
Eq. 22를 이용하여 Eq. 21의 중적분(dS)을 삼중적분(dV)으로 고쳐줍니다.
[Eq. 23 → Eq. 24]
중적분의 결합 법칙을 이용하여 Eq. 23의 두 적분항을 하나의 적분항으로 합쳐줍니다.
Eq. 24의 우변이 0이므로, 적분을 소거하여도 값은 변하지 않습니다.
Eq. 24의 중적분을 소거하여 그 결과를 Eq. 16과 비교하면 두 식이 완전히 같은 식임을 보일 수 있습니다.
결과적으로 Eq. 16과 Eq. 24는 같은 값을 나타내므로, 이를 등식으로 취할 수 있습니다.
이를 질량 보존의 상반 원리(Reciprocity of Mass Conversation)라 합니다.
여기까지입니다.
간단한 내용이 될 줄 알고 편하게 시작했는데, 쓰면 쓸 수록 넣고 싶은 내용이 많아져 최종본을 보니 머리가 착잡해집니다.
계획이 변경되지 아니하는 한, 다음 시간에는 압축성 유동하는 비점성 유체의 오일러 방정식을 유도해 보려고 합니다.
오늘보다 조금 더 복잡할 수 있는 내용이라, 다시 돌아오기까지 시간이 조금 걸릴 수도 있습니다.
많은 양해를 부탁드립니다.
감사합니다.
2023. 02. 16
효온민 올림
[Reference]
[1] Lawrence E. Kinsler, “Fundamentals of Acoustics” (in USA), John Wily & Sons Inc. (1999)
[2] D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" (in USA), John Wiley & Sons Inc. (2000)
[3] S.W. Rienstra, "An Introduction to Acoustics" (in Netherlands), Eindhoven University of Technology. (2021)
Copyrights ⓒ Hyonmin.
'Physical Acoustics :: 물리 음향학 > Linear Acoustics :: 선형 물리 음향학' 카테고리의 다른 글
| Linear Acoustics(선형 물리 음향학) :: 입자속도, 음향 임피던스 일반식 유도하기 (0) | 2024.03.09 |
|---|---|
| Linear Acoustics(선형 물리 음향학) :: 비선형 오일러 방정식(1) (1) | 2023.05.29 |