Basic Mathematics(기초 수학) :: 초월 함수(1) - 감마 함수와 베셀 함수

안녕하세요, 애옭입니다!

 

이번에는 지난 시간에 이어, 음향학에서 유용하게 사용되는 몇 가지의 '초월 함수(Transcendental Function)'들에 대해 알아보겠습니다.

 

'초월 함수'는 간단히 정의하여, "함수의 근이 다항식의 조합으로 표현될 수 없는 함수"라고 할 수 있습니다.

 

무슨 소리인지 잘 모르시겠다고요? 그럼 예시를 몇 가지 들어드리겠습니다.

 

대표적인 초월 함수로는 고등학교 교육 과정에서 배우는 '삼각 함수'나 '지수 함수', '로그 함수' 등이 있습니다.

 

위 열거한 세 가지 함수 모두 "단순하게 다항식을 더하거나 빼서 표현할 수는 없는" 함수이지요?

 

따라서 위 세 함수들이 '다항식의 조합으로 표현될 수 없는 함수', 즉 "초월 함수"의 정의를 완벽하게 만족하므로 이를 초월 함수라 할 수 있는 것입니다.

 

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아무튼 오늘 이 시간에 다룰 초월 함수들은, 지난 번 다룬 가우스 발산 정리나 그린 적분 정리와 같이 "음향학 이론을 해석하거나", "관련된 문제를 풀고 이를 학습할 때" 꽤 중요하게 사용되는 기초 연산들 중 하나입니다.

 

그나마 다행인 것은, 함수의 유도 과정을 굳이 자세하게 다 알고 있지 않아도 "함수의 결과식"만 알고 있으면 충분히 관련된 기술을 사용할 수 있다는 것입니다.

 

아래는 이번에 다룰 초월 함수들인 '감마 함수(Gamma Funtion)'와 '베셀 함수(Bessel Funtion + α)', '구 베셀 함수(Spherical Bessel's Funtion)', '르장드르 함수(Legendre Funtion)'의 최종식을 나열한 것입니다.

 

위의 다섯 가지 초월 함수를 모두 다루기에는 너무 내용이 길어지기에, 오늘은 "감마 함수"와 "베셀 함수"에 대한 내용만 다루어 보겠습니다.

 

그럼 이제부터 차근차근 초월 함수에 대해 설명해 드릴게요!

 

* 이 글에서는 임의의 점 z를 실수 x, y의 복소 조합 (z = x + iy)로 정의합니다. 또, 차수의 기호 v는 "실수"이고, 기호 l, m, n은 "정수" 입니다. 함수의 유도 과정이 복잡한 경우, 결과식만 기술하는 경우도 있음을 양해 부탁드립니다.

 

몇 가지 초월 함수들(Transcendental Functions)

 

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'감마 함수(Gamma Funtion)'는 "단일의 특정한 영역에서만 무한한 값을 가지는" 독특한 함수입니다.

 

양의 실수부를 가지는 종속 변수 z에 대하여, 감마 함수 Γ(z)은 (Eq. 1)의 정적분으로 주어집니다.

 

(Eq. 1) 감마 함수(Gamma Funtion) Γ(z)의 정적분 전개

 

감마 함수 (Eq. 1)에 대하여, 아래 등식 (Eqs. 2~5)는 "항등식"으로 성립합니다.

 

(Eqs. 2~6) 감마 함수 (Eq. 1)에 대하여 성립하는 항등식

 

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'베셀 함수(Bessel's Funtion)'은 아래의 '베셀 미분 방정식(Bessel's Differential Equation)' 을 성립시키는 '동차해(Homogeneous Solution)'입니다.

 

(Eq. 7) 베셀 미분 방정식(Bessel's Differential Equation)

 

위 미분 방정식이 '2계 상미분 방정식(2d ODE)'이므로, 그 동차해 또한 두 개입니다.

 

(Eq. 7)을 간단하게 조작하고, (Eqs. 2~6)에서 구한 감마 함수의 특성과 프로베니우스의 해법(Frobenius's Solution)을 이용하여 방정식을 풀면, (Eq. 7)을 성립시키는 두 동차해는 삼각 함수와 델타 함수의 선형 조합으로 (Eqs. 8~9)와 같이 얻어집니다.

 

(Eqs. 8~9) 베셀 미분 방정식의 동차해, 제1, 2종 베셀 함수 J_n(z), Y_n(z)

 

따라서, 베셀 미분 방정식 (Eq. 7)의 해는 위 1, 2종 베셀 함수의 조합으로 A * J_v(z) + B * J_v(z)이 됩니다.

 

특수한 조합으로, 제1, 2종 베셀 함수의 복소 조합(또는 실수 조합)은 (Eqs. 10~11)과 같이 "제3종 베셀 함수" 또는 "제1, 2종 한켈 함수(Hankel Funtion)"로 기술됩니다.

 

(Eqs. 10~11) 제1, 2종 한켈 함수(Hankel Funtion)

 

또한, 베셀 함수 (Eqs. 8~9)의 차수가 "정수"일 때는 다음의 항등식이 성립하며,

 

(Eqs. 12~13) 제1, 2종 베셀 함수의 차수가 정수일 때, 각 베셀 함수에 대하여 성립하는 항등식

 

종속 변수 z가 작을 때에는 다음의 제0, 1차 베셀 함수의 급수 전개식 (Eqs. 14~19)이 유용하게 성립합니다.

 

(Eqs. 14~19) 제1, 2, 3종 제0, 1차 베셀 함수의 급수 전개식

 

* (Eq. 16)의 상수 γ=0.57721은 '오일러-마스케로니 상수(Euler–Mascheroni Constant)'입니다.

 

베셀 함수의 종속 변수 z가 작을 때, 즉  l arg(z) l < π 일 때 성립하는 근사식은 아래의 (Eqs. 20~24)로 주어집니다.

 

(Eqs. 20~24) 베셀 함수의 독립 변수 z가 작을 때 성립하는 근사 표현

 

또, 각 종수 및 차수 베셀 함수의 유용한 적분식은 아래와 같이 나타납니다.

 

(Eqs. 25~27[a, b]) 각종 차수 베셀 함수의 적분식

 

따라서, (Eqs. 20~27[a, b])의 관계식을 통하여 상호 직교하는 제1종 v차 베셀 함수를 (Eqs. 28~29)와 같이 정규화(Normalization)할 수 있습니다.

 

(Eqs. 28~29) 제1종 v차 베셀 함수의 정규화(Normalization)

 

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일단 이렇게 간단하게 '감마 함수'와 '베셀 함수'에 대한 기초적인 연산 공식과 의미를 알아보았습니다.

 

원래 초월 함수들은 유도 과정이던지, 식을 풀거나 적용하는 과정이라던지 모두 어렵고 길기 때문에, 오늘 위 글에서는 대부분의 유도 과정은 생략하고 결과식만 간략히 기술하였습니다.

 

그래도 내용이 엄청 길어졌네요.

 

다음 시간에는 오늘 다루지 못했던 '구 베셀 함수(Spherical Bessel's Funtion)'와 '르장드르 함수(Legendre Funtion)'에 대해 알아보려고 합니다.

 

혹시 궁금하신 점이 있으시거나, 이해가 안 되시는 부분이 있으시면 언제든지 댓글 달아주세요!

 

확인하고 답변드리겠습니다.

 

무튼 오늘도 읽어주셔서 감사드립니다.

다음에는 더 유익한 글로 다시 찾아뵐게요!

 

 

2022. 10. 10

애옭 올림

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[Reference]

 

[1]   Lawrence E. Kinsler, “Fundamentals of Acoustics” (in USA), John Wily & Sons Inc. (1999)

[2]   D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" (in USA), John Wiley & Sons Inc. (2000)

[3]   Erwin Kreyszig, "Advanced Engineering Mathematics(10th Edition)" (in USA), WIly Inc. (2011)

[4]   Abramowitz and Stegun, "Handbook of Mathematical Functions" (in U.K.) (1965)

 

 

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