안녕하세요, 애옭입니다!
이번 글은 (개인적으로 생각하기에) 음향학을 위한 기초 이론 중에서 아주아주 정말 중요한 내용입니다.
바로 "복소 지수 함수(Complex Exponential Function)"의 정의와, 간단한 응용 방안을 다루는 내용이기 때문입니다!
복소 지수 함수를 통하여 조화 주기 운동의 해를 구하는 것은 음향학을 비롯하여 물리학이나 전자 기학, 기계 공학 등 "주기 운동"을 다루는 여러 학문에서 아주 중요한 기초 개념으로 다루는 부분입니다.
따라서, 지난 번 올려드렸던 물리계의 기계적 에너지와 관련된 부분에 이어 오늘 내용도 꼭 반드시 철저하게 이해하시고 넘어가셨으면 하는 마음입니다.
오늘 내용도 조금 복잡하기 때문에, 서론은 이만 줄이도록 하겠습니다.
이해가 안 되시는 부분이 있으시거나, 궁금하신 부분이 있으시다면 언제든지 댓글 달아주세요!
'복소 지수 함수(Complex Exponential Funtion)'가 무엇일까요?
우리의 친절한 네이버는 "지수 함수의 지수가 복소수인 함수"로 복소 지수 함수를 정의합니다.
"지수 함수의 지수가 복소수인 함수"는 이 세상에 너무나도 많이 존재합니다.
조합이 가능한 경우의 수만 따지더라도, 적어도 수백만 개의 복소 지수 함수가 도출될 것만 같습니다.
그러나, 오늘 유도할 "주기 운동을 표현하는 데 적절한" 복소 지수 함수는, 간단히 정리하여 '주기 운동을 기술하는 복소 삼각 함수의 조합을 축약하여 기술하는 지수 함수다' 라고 할 수 있습니다.
일반적으로 Sine 함수 또는 Cosine 함수를 통하여 완벽하게 기술되는 주기 운동은 (Fig. 1)과 같이 "회전 운동"에 대입하여 설명하여도 그 의미가 훼손되지 아니하므로, 주기 운동을 표현하는 복소 지수 함수를 유도할 때는 '복소 평면에 존재하는 반지름이 1인 단위원'을 사용합니다.
(Fig. 2)에서, 단위원 내 임의의 위치 L_0(x+iy)을 (Fig. 1)의 초기 조건 t = 0에서의 위치로 정의하겠습니다.
단위원의 반지름이 1이므로, 단위원 내 임의의 위치 L_0(x+iy)는 (Eqs. 1~6)의 과정으로 전개되어 구해집니다.
[Eq. 1]
복소 평면상에 임의로 가정한 단위원의 반지름이 1이므로, 위치 L_0는 실수좌표 x와 허수좌표 iy의 합으로 기술됩니다. 중학교 3학년 수준 수학과 교육과정에서 배웠던 삼각비의 응용 공식에 따라, 삼각형의 빗변의 길이가 1이므로 x = cos(ω_0t), y = isin(ω_0t)입니다.
[Eq. 1 → Eq. 2]
(ω_0t)가 시간에 따라 연속적으로 변화하는 양임을 이용하여, (Eq. 1)을 (ω_0t)에 대해 미분합니다.
[Eq. 2 → Eq. 3]
(Eq. 2)의 우변에서, -sin(ω_0t)의 계수를 1이 아닌 허수의 제곱 i^2으로, 즉 (Eq. 3)의 좌변과 같이 본다면, 우변 전체를 허수 i로 묶어 정리할 수 있습니다. 간단한 복소수의 연산 공식에 입각하여, (Eq. 3)의 좌변을 허수 i로 묶어 우변과 같이 정리해 줍니다.
[Eq. 3 → Eq. 4]
(Eq. 3)의 우변에서, 허수 i로 묶인 괄호 안의 수들은 (Eq. 1)의 위치 L_0와 완전히 동일합니다. 따라서, 1계 도함수 d(L_0) / d(ω_0t)는 i(L_0)로 정리됩니다. 그런 후, (Eq. 4)의 좌변에서 i(L_0)의 L_0와, d(ω_0t)의 위치를 서로 바꾸어 정리합니다.
[Eq. 4 → Eq. 5]
(Eq. 4)의 오른쪽 식의 양 변을 각각 부정적분합니다. 간단한 적분 공식을 통해, 복소수 i(ω_0t)의 값은 위치 L_0에 대한 자연로그 ln(L_0)의 값과 같음을 알 수 있습니다.
(부정적분에서, 적분 상수 C는 생략하였습니다. 관련된 유도 과정은 존재합니다만, 주제에서 벗어나는 내용이기에 추후 기회가 된다면 다시 설명드리겠습니다.)
[Eq. 5 → Eq. 6]
간단한 지수 함수의 미분 공식 (dy / dx) = a^x ln(a)에 따라서, (Eq. 5)의 오른쪽 식을 정리합니다. ln(L_0) = i(ω_0t)에서, 미분 공식 (dy / dx) = a^x ln(a)을 적용하여 간단히 정리하면, L_0 = exp[i(ω_0t)]임을 알 수 있습니다.
L_0는 (Eq. 1)과 같기에, 결과적으로 복소 지수 함수 exp[i(ω_0t)]는 (Eq. 1)과 동일한 값을 나타낸다는 것을 알 수 있습니다!
위의 과정을 통하여, 복잡한 삼각 함수의 합성식 cos(x) + isin(x)이 복소 지수 함수의 형태로 간단하게 exp[i(x)]로 정리될 수 있기에, 이는 '삼각 함수의 합성을 사용하는 일련의 학술적 분야'에서 복소 지수 함수가 아주 유용하게 사용될 수 있음을 보여줍니다.
대표적인 예시로, 지난 번 유도하였던 단순 조화 운동하는 물리계의 운동 방정식에서, 아래와 같은 일반해 (Eq. 7)를 복소 지수 함수로 치환하여 그 해를 구해보도록 하겠습니다!
(Eq. 6)에 따라서, (Eq. 7)의 Cosine 함수와 Sine 함수의 합성은 (Eq. 8)로 간단하게 정리하여 나타낼 수 있습니다.
(Eq. 8)을 단순 조화 운동 방정식 (Eq. 9)에 직접 대입합니다. 운동 방정식이 2계 미분 방정식이므로, 위 (Eq. 8)을 먼저 두 번 미분한 후 운동 방정식에 대입하도록 하갰습니다.
[Eq. 9]
단순 조화 운동하는 단진자의 운동 방정식입니다. 자세한 유도 과정은 지난 번 글을 참고하여 주세요!
[Eq. 8 → Eq. 10]
복소 지수 함수 (Eq. 8)을 시간에 대하여 한 번 미분합니다. 지수 함수의 미분 공식에 의하여, 허수 i와 고유 각 주파수 ω_0가 지수 밖으로 복사되어 양의 곱으로 취해집니다.
[Eq. 8 → Eq. 11]
복소 지수 함수 (Eq. 8)을 시간에 대하여 한 번 더 미분합니다. 마찬가지로 지수 함수의 미분 공식에 의하여, 허수 i와 고유 각 주파수 ω_0가 지수 밖으로 복사되어 음의 곱으로 더해집니다. i^2 = 1이므로, 시간으로 두 번 미분된 일반해 (Eq. 8)의 복소 지수 함수는 -ω_0^2 * A_1*exp[i(ω_0t)]로 기술됩니다.
[Eq. 11 → Eq. 12]
(Eq. 9)의 2계 도함수 (d^2x / dt^2)의 자리에는 (Eq. 11)을, x의 자리에는 복소 지수 함수 (Eq. 8)을 대입합니다. 두 항의 계수와 지수가 모두 같고, 부호만 다르므로 두 항의 합은 0입니다. 그 결과로서, (Eq. 8)의 복소 지수 함수가 운동 방정식 (Eq. 9)의 해임을 알 수 있습니다.
(Eq. 8)의 복소 지수 함수는 '양의 방향(+x)'으로 진행하는 운동에 대한 해입니다.
(Eq. 8)의 지수에 음의 부호를 붙이면, 이는 '음의 방향(-x)'으로 진행하는 운동에 대한 해가 되며, (Eqs. 10~12)과 동일한 과정을 거쳐 해가 참임을 증명할 수 있습니다.
양의 복소 지수 함수가 해임을 증명하는 것과 사실상 동일한 내용이므로, 자세한 유도 과정은 생략하였습니다.
따라서, 결과적으로 운동 방정식 (Eq. 8)을 만족시키는 복소 지수 함수는 (Eq. 8)의 양의 해와 음의 해의 선형 조합이므로, 이를 간단하게 (Eq. 13)으로 정리할 수 있습니다.
그리고, 이러한 복소 지수 함수를 통하여 얻은 주기 운동의 해를 "복소 조화해(Complex Harmonic Solution)"라 합니다.
오늘 내용은 조금 복잡하고, 또 알아야 할 기초 공식들도 조금 많아서 저도 쓰면서 많이 헷갈렸습니다.
오늘 다룬 복소 지수 함수에 관한 내용은 정말 중요한 부분이라 제 나름대로 꽤 열심히 썼는데, 욕심이 과한 것인지 부족한 부분이 많이 보입니다.
앞으로 더욱 노력해서 더 좋고 재미있는 음향학 글 올릴 수 있도록 하겠습니다!
오늘도 읽어주셔서 정말 감사드립니다.
궁금하신 부분 있으시다면 언제든지 댓글 남겨주세요!
2022. 10. 01
애옭 올림
[Reference]
[1] Lawrence E. Kinsler, “Fundamentals of Acoustics” (in USA), John Wily & Sons Inc. (1999)
[2] D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" (in USA), John Wiley & Sons Inc. (2000)
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