안녕하세요, 애옭입니다!
오늘은 기초적인 '열역학(Thermodynamics)'의 내용 중, 물리계의 '에너지[열에너지]'와 일, 그리고 간단한 열역학 제1법칙에 대해 알아보려고 합니다.
음향학을 공부하는 데 있어, 열역학을 이해하는 것은 정말 중요합니다.
매질을 통하여 음파가 전파하는 과정을 관찰하고 연구하는 데 있어, 매질의 종방향 운동이 열 에너지로 변화하는 과정을 직접 유도하고 이를 정확하게 숙지하고 있어야 하는 것은 사실상 필수 불가결적인 지식 요소이기 때문입니다.
한 가지 예시로, 음파가 공기를 통하여 전파하는 과정에서, 공기 내 분자 또는 다른 매질 속 분자와 상호 충돌하는 과정에서 발생하는 열 에너지로 인해 음향 에너지가 손실되는 상황을 가정하여 봅시다.
음향학을 공부하는 우리 똑똑한 사람들이 이런 단순한 상황 하나 해석하지 못하면 안 되겠지요?
기초적인 열역학 지식을 바탕으로, 분자들의 충돌에 기반한 운동량 손실이 운동 에너지를 열 에너지로 변환시키는 데 작용하는 물리적 인자와의 관계성이 있는지를 아주 면밀하게 따지어, 이러한 문제를 해결하여야 될 것입니다.
아무튼, 그래서 음향학을 공부하는 데 있어 열역학은 중요합니다.
오늘은 간단하게 "맛보기로" 열역학 기초 이론을 알려드리겠습니다!
'열역학(Thermodynamics)'은 물리계의 '일(Work)'과 '열(Heak)'의 관계를 규정하는 학문입니다.
그중에서도, 오늘 알아볼 '열역학 제1법칙'은 다음의 정의를 정량적으로, 그리고 수리적으로 기술하는 수단입니다.
"임의의 물리계의 내부 에너지의 변화는,
물리계에 유입된 열 에너지와 물리계가 물리계의 외부에 해준 일의 차이와 같다."
"The change in the internal energy of any physical system is equal
to the heat energy introduced into the physical system minus what the physical system
did outside the physical system."
E를 물리계 내부의 총 에너지, Q를 물리계 내부의 열 에너지, 그리고 W를 물리계에 행해진 일이라고 기호를 정의하면, 위의 열역학 정의에 따라 물리계 내부의 총 에너지 E의 변화 dE에는 다음의 관계가 성립합니다.
[Eq. 1]
물리계 내부의 총 에너지의 변화는, 에너지 보존 법칙에 의하여 물리계 내부에 행해진 일 W의 변화와 열 에너지 Q의 변화의 합으로서 기술할 수 있습니다.
[Eq. 1 → Eq. 2]
일 W의 변화량 δW는 압력과 체적의 곱과 동일하므로, 해당 위치를 -pdV로 치환하여 기술할 수 있습니다. 체적 dV가 압축될 때 이 물리계에 행해진 일로부터 열 에너지를 얻을 수 있기 때문에, 이 항은 '음의 부호(-)'를 취합니다.
위의 최종식 (Eq. 2)를 통하여, 정말 재미있는 사실을 알 수 있습니다.
시간에 따른 물리계의 상태 변화에서, 즉 물리계의 초기 상태(t = 0)와 최종 상태(t = En.)간의 상태 변화 과정에서, 물리계에 행해진 일의 변위 δW와 인가된 열 에너지의 변위 δQ는 물리계가 진행한 과정, 즉 "진행 경로"에 의존한다는 것입니다.
이를 "물리계의 경로 의존성(Path Dependence)"이라 합니다.
또, 물리계의 총 내부 에너지 E는, 물리계 내부의 열역학적 상태 변수(압력 P, 체적 V, 온도[절대온도] T_K)에 지극히 비례적입니다.
이러한 E의 상태 의존성을 토대로, E는 "상태 함수(State Funtion)"라 명명되며 (Eq. 3)과 같이 표현됩니다.
위의 단순한 총 에너지와 열 에너지, 일의 관계를 통하여, 물리계의 "열용량(Heat Capacity)"과 관련된 여러 문제를 간단하게 풀 수 있습니다.
한 가지 예시로, 1mole[1g]의 질량을 가지고 정적 평형 상태에 있는 임의의 물리계에, 열 에너지의 변위 ΔQ를 주입하는 경우를 살펴보겠습니다.
(Eq. 2)를 이용하여, 이 물리계의 정적 열용량은 (Eqs. 4~6)로 전개되어 기술됩니다.
[Eq. 4]
일반적으로, 물리계의 정적 열용량은 열 에너지의 절대 온도에 대한 미분을 종속 미분항으로 가지는 극한으로 기술됩니다.
[Eq. 4 → Eq. 5]
압력이 가해지지 아니하였으므로 체적의 변위가 dV = 0이고, 또 이 물리계에 아무런 일도 행해지지 아니하였으므로, 물리계 내부의 총 에너지의 변위 ΔE와 열 에너지의 변위 ΔQ는 (Eq. 2)에 따라 ΔE = ΔQ임을 성립시켜야 합니다. 극한 (Eq. 4)의 양 변에 ΔT를 곱하면 이는 물리계 내부의 총 에너지 dE를 만족하므로, (Eq. 5)와 같이 정리됩니다.
[Eq. 5 → Eq. 6]
결과적으로, 물리계의 정적 열용량은 물리계 내부의 총 에너지(E)를 온도(T)로 미분한 값입니다. 체적 dV가 변화하지 아니하는 값이므로(Constant), 온도 변위의 극한 lim[ΔT → 0]항은 극한이 소거된 항(최우변)으로 고쳐쓸 수 있습니다.
위의 내용과 비슷한 맥락으로, 1mole의 질량을 가지는 임의의 물리계에 "일정한 압력으로" 열 에너지 ΔQ를 주입할 때 발생하는 온도 변화 ΔT는, ΔQ와 정압 열용량으로 관계되어 (Eqs. 7~9)로 전개됩니다.
[Eq. 7]
일반적으로, 물리계의 정적 열용량은 열 에너지의 절대 온도에 대한 미분을 종속 미분항으로 가지는 극한으로 기술됩니다.
[Eq. 7 → Eq. 8]
(Eq. 2)에 따라 열 에너지의 변화 ΔQ와 압력과 변화 체적의 곱 -pdV의 차의 값은 같습니다. 체적의 변위가 존재하므로, 이 물리계의 총 에너지는 (Eq. 2)의 최우변을 온전히 만족하여야 합니다. 극한 (Eq. 7)의 양 변에 ΔT를 곱하면 물리계 내부의 열 에너지의 변위 ΔQ를 구할 수 있고, 이에 -pdV를 대입하여 (Eq. 2)와 같이 정리하면, 이 물리계 내부의 총 에너지는 (Eq. 8)로 정리됩니다.
[Eq. 8 → Eq. 9]
결과적으로, 물리계의 정압 열용량은 물리계 내부의 총 에너지(E)와 체적(V를 온도(T)로 미분한 값과 압력(P)의 곱입니다. 온도 변위의 극한 lim[dT → 0]항은 극한이 소거된 항(최우변)으로 고쳐쓸 수 있습니다.
1mole의 질량을 가지는 임의의 물리계에서, 이 물리계의 총 내부 에너지는 (Eq. 3)에서 증명된 바와 같이, 압력과 체적과 온도를 변수로서 가집니다.
물리계 내부의 총 에너지 ΔE를 온도 T와 체적 V의 함수로 본다면, (Eq. 9)의 관계식을 통하여 (Eqs. 10~12)의 관계가 성립합니다.
[Eq. 10]
물리계의 총 내부 에너지를 온도 T와 체적 V의 함수로 본다면, 이 때의 내부 에너지의 변화 ΔE는 (Eq. 10)로 정리할 수 있습니다.
[Eq. 10 → Eq. 11]
물리계의 압력을 상수(Constant)로 취급하면, (Eq. 10)의 미분항은 (Eq. 11)로 고쳐쓸 수 있습니다. 즉 물리계의 압력은 일정하게 유지되며, 물리계의 온도만 변화하는 것입니다.
[Eq. 11 → Eq. 12]
이제 잘 만들어진 관계식 (Eq. 11)에, 앞에서 유도하였던 정적, 정압 열용량 (Eq. 6), (Eq. 9)의 값을 대입하여 정리하면, 두 열용량의 차이(C_P - C_V)에 대한 관계식 (Eq. 12)를 얻을 수 있습니다.
오늘은 제 편의를 위하여, 중간중간 식 유도를 생략하거나, 간단히 한 경우가 많습니다.
제가 열역학 전문가가 아니기에 발생한 일이니, 여러분들의 넓은 양해를 부탁드립니다.
혹시라도 열역학에 대해 더 자세하게 알고 싶으시다면, 아래의 참고 서적을 참고해 주세요! (근데 사실 저 책 내용하고 이 글하고 많이 비슷합니다 ㅋㅋㅋㄲㅋ)
아무튼 오늘도 읽어주셔서 감사드립니다.
앞으로 더 유익하고 흥미로운 글 올릴 수 있도록 더욱 노력할게요!
2022. 10. 06
애옭 올림
[Reference]
[1] Lawrence E. Kinsler, “Fundamentals of Acoustics” (in USA), John Wily & Sons Inc. (1999)
[2] D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" (in USA), John Wiley & Sons Inc. (2000)
[3] Mc. Grew-Hill, "Introduction to the Theory of Sound Transmission" (in USA), Waved in Layerd Media (1958)
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