안녕하세요, 효온민입니다.
잘 쓰고 있던 선형 물리 음향학 내용을 뒤로하고, 갑자기 고급 물리 음향학의 내용으로 찾아뵙게 되었습니다.
당연하게도, 기존에 쓰고 있던 카테고리를 때려치운 건 아닙니다. 요즘에 공부하고 있는 내용을 다시 한 번 정리하고자 이번 글을 쓰게 되었습니다.
고급 물리 음향학은 기존에 다루었던 선형 물리 음향학보다 조금 더 심화된 내용의 이론을 다루는 카테고리로, 기존보다 조금 더 어려운 수학이나 물리학이 필요할 수도 있습니다.
모쪼록 이 글에서는 키르히호프의 적분 이론과 헬름홀츠 방정식을 이용하여 선형화된 동차 음향 파동 방정식의 해를 유도하는 방법을 다룹니다.
조금 복잡할 수 있으나, 최대한 간결하고 쉽게 써보겠습니다.
키르히호프 - 헬름홀츠 적분해(Kirchhoff - Helmholtz Integral Solution)는 파동 방정식을 통해 체적 V를 가지는 임의의 음장에서, 임의의 위치 Q에서의 음압을 기술합니다.
따라서, 우선 아래와 같이 체적(V)과 표면적(S)을 가지는 규격화된 음장을 하나 가정하겠습니다.
아시다시피, 벡터 n은 표면적 S 중 임의의 한 점 위에서의 단위 법선 벡터입니다.
사용할 파동 방정식은 가장 간단한 형태의 표준 파동 방정식인 Linear Homogeneous Lossless Acoustic Wave Equation(Eq. 1)입니다.
이 파동 방정식을 통해 적분해를 유도하기 위해서는, 우선 위 식을 헬름홀츠 방정식(Helmhortz Equation)으로 변형하여야 합니다.
이는 즉슨 Eq. 1을 시간에 대해 이산화한다는 것입니다.
그러기 위해서, 우선 Eq. 1이 시간 의존성을 띄도록 식을 살짝 바꿔주어야 합니다.
가장 간단한 방법으로 p(x, y, z, t)의 일반해 p(x, y, z, t)=exp[-i(ωt-k(x+y+z)]에서, 극한 (x, y, z) → 0을 적용해 주는 것입니다.
즉 Eq. 1의 p(x, y, z, t)에 시간 의존성만을 띄는 일반해 p(0, 0,0, t)=exp[-i(ωt)]를 직접 대입한다는 것입니다.
[Eq. 2]
Linear Homogeneous Lossless Acoustic Wave Equation의 가장 간단한 형태의 일반해입니다. 예전에 관련한 글을 하나 올렸으니, 참고 부탁드립니다. (https://acoustics-library.tistory.com/10)
Basic Mathematics(기초 수학) :: 복소 지수 함수의 정의와, 간단한 주기 운동의 조화해 유도
안녕하세요, 애옭입니다! 이번 글은 (개인적으로 생각하기에) 음향학을 위한 기초 이론 중에서 아주아주 정말 중요한 내용입니다. 바로 "복소 지수 함수(Complex Exponential Function)"의 정의와, 간단한
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[Eq. 2 → Eq. 3]
공간 의존성을 소거하기 위해, Eq. 2에 공간 변수 x, y, z을 0으로 수렴하게 하는 극한을 적용합니다.
[Eq. 3 → Eq. 4]
Eq. 2의 지수항 -k(x+y+z)에 극한값 (x, y, z) → (0, 0, 0)을 직접 대입합니다.
[Eq. 4 → Eq. 5]
유도된 일반해 p(0, 0, 0, t)를 Eq. 1에 직접 대입해 줍니다.
이를 통하여, Eq. 1이 시간 의존성만을 띄도록 변형하는 데 성공하였습니다.
이제 시간 의존성을 띄는 음향 파동 방정식(Eq. 5)을 시간에 대하여 이산화해 주어야 합니다. (아까도 말씀드렸다시피, 헬름홀츠 방정식으로 식을 변형하기 위함입니다.)
간단합니다. Eq. 5를 시간 영역(Time Domain)에서 -∞부터 ∞까지 적분해 주면 됩니다.
자세한 적분의 계산은 아래에 남겨두었습니다.
[Eq. 5 → Eq. 6]
시간 의존성을 띄도록 변형된 음향 파동 방정식(Eq. 5)을 시간 영역에서 -∞부터 ∞까지 적분합니다.
[Eq. 6 → Eq. 7]
정적분의 분배 성질을 이용하여, Eq. 6의 좌변을 두 항 개별 적분의 조합으로 표현해 줍니다.
[Eq. 7 → Eq. 8]
미분과 적분의 역연산 정의를 이용하여, Eq. 7의 좌변 첫 번째 항의 정적분과 미분 연산자의 계산 순서를 서로 바꾸어 줍니다. Eq. 8의 첫 번째 항의 상세한 적분 전개는 Eq. 9a에, 두 번째 항의 상세한 적분 전개는 Eq. 9b에 정리해 두었습니다.
[Eq. 9a]
우선 대괄호 안의 정적분을 먼저 계산합니다. 시간 영역(dt)에서의 적분이므로, t의 계수 -iω가 원함수 exp[-i(ωt)]를 나누는 꼴이 됩니다.(이는 적분 공식입니다.) -(1/iω)를 실수화하고, 상수이므로 전개하여 미분 연산자의 계수로 취해줍니다.
[Eq. 9b]
미분과 적분의 역연산 정의에 따라, Eq. 8의 좌변 두 번째 항의 적분을 전개하면 2계 편도함수는 1계 편도함수가 됩니다.(이 또한 기본적인 미적분학 정리입니다.) 원함수 exp[-i(ωt)]를 시간에 대해 미분하는 꼴이므로, t의 계수 -iω가 원함수 exp[-i(ωt)]의 계수로 취해집니다.
[Eq. 10]
결과적으로, 이산화된 파동 방정식은 Eq. 9a-b의 결과식을 Eq. 8에 직접 대입한 것입니다. 이를 Eq. 10에 나타내어 두었습니다.
[Eq. 10 → Eq. 11]
좌변의 계수를 정리하기 위해, Eq. 10의 양 변 각 항에 ω/i를 곱해줍니다.
[Eq. 11 → Eq. 12]
고유 각 진동수(ω)를 음속으로 나눈 값의 제곱은 파수(Wave Number, k)의 제곱과 같습니다. 이를 Eq. 11의 (ω^2/c_0^2)에 직접 대입합니다.
[Eq. 12 → Eq. 13]
주기함수 exp[-i(ωt)]를 시간에 따른 음압의 함수 p(t)로 치환하여 표현합니다. 이를 통하여 Eq. 5가 Eq. 13과 같은 Homogeneous Helmholtz Equation이 되었습니다.
이는 공간 의존성과 시간 의존성을 동시에 띄는 파동 방정식을 시간에만 의존하게 조작한 것으로, 파동 방정식의 푸리에 변환(Fourier Transform)이라고도 합니다.
이제 다시 첫 번째 그림(Fig. 1)으로 돌아가 보겠습니다.
위 그림에서 체적 영역 V는 표면 폐곡선 S의 연속적인 분포로 형성되었음을 알 수 있습니다.
따라서, 위 공간에서는 그린 적분 정리(Green's Integral Theorem)가 성립합니다.
이 부분도 마찬가지로 예전에 관련된 글을 하나 올려두었으니 참고해 주시기 바랍니다. (https://acoustics-library.tistory.com/12)
Basic Mathematics(기초 수학) :: 가우스 발산 정리와 그린 적분 정리
안녕하세요, 애옭입니다! 굉장히 오랜만에 기초 수학으로 찾아뵙게 되었습니다. 오늘 알아볼 내용은 '가우스 발산 정리(Gauss's Divergence Theorem)'와 '그린 적분 정리(Green's Integral Theorem)'입니다. 위
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폐곡면 S로 둘러싸여 체적 V를 가지는 영역에서의 그린 적분 정리는 아래와 같습니다. 편의를 위해, 유도 과정은 생략하겠습니다.
여기서 U와 U_1은 Homogeneous Helmholtz Equation(Eq. 13)을 만족시키는 임의의 벡터량입니다.
따라서, Eq. 14에서 U는 p(t)로, U_1은 p_(s)로 치환될 수 있습니다.(s에 대해서는 뒤에서 자세하게 다룹니다.)
헬름홀츠 방정식에 따라 ∇^2∙[p]=-k^2(p)임이 성립하는 것은 (Eq. 13)의 좌변 두 번째 항을 우변으로 이항해 보면 쉽게 알 수 있습니다.
따라서, Eq. 15의 좌변은 아래와 같이 조작되어 0이 됩니다.
[Eq. 16]
Eq. 15의 좌변입니다.
[Eq. 16 → Eq. 17]
∇^2∙[p]=-k^2(p)임을 적용하여 연산자 항을 치환합니다.
[Eq. 17 → Eq. 18]
각 항을 전개하면 구성 성분이 완전히 같은 두 항이 반대 부호를 달고 조합되는 꼴임을 볼 수 있습니다. 즉 부호만 다른 동일한 항의 합이므로, 0입니다.
[Eq. 18 → Eq. 19]
0의 삼중적분은 0입니다. 따라서 Eq. 15의 좌변은 0이 됩니다.
결과적으로 Eq. 15의 우변 또한 0이 되므로, 아래와 같이 방정식의 꼴로 다시 써질 수 있습니다.
처음에 말씀드렸다시피 Kirchhoff - Helmholtz Integral Solution은 체적 내 임의의 위치 Q에서의 음압을 기술합니다.
따라서, 우선 Fig. 1의 체적 V 내에서 Q의 역할을 할 추가적인 표면적 S'을 적용해 다시 체적 V를 정의하도록 하겠습니다.
여기서 Q는 음압 측정 위치, S'는 Q의 영역을 둘러싸는 표면적, ε은 Q의 반지름, s는 Q의 중심으로부터 표면적 S 위의 임의의 점 (x, y, z)까지의 직선 거리입니다.
p(s)는 거리 s에 의존하는 음압을 나타냅니다. 위 그림에서 Q는 중점으로부터 동일한 반경으로 표면을 가지는 구면의 형상이므로, p(s)는 발산하는 구면파의 음압 분포를 나타낸다고 볼 수 있습니다.
[Eq. 21]
발산하는 구면파의 가장 간단한 복소 조화해입니다.
[Eq. 20 → Eq. 22]
Eq. 20의 중적분 내 좌변 p(s)에 Eq. 21을 직접 대입합니다.
Eq. 22에서, Eq. 20과 달리 중적분의 범위가 S에서 S+S'로 확장된 것은, Fig. 2에서체적 내 새로운 표면적 S'을 정의하였기 때문입니다.
간단한 중적분의 합성분 분배 법칙(Eq. 23)을 이용하여 Eq. 22를 정리해 주도록 하겠습니다.
[Eq. 22 → Eq. 24]
Eq. 22의 피적분 함수가 복잡한 꼴이므로, V로 치환합니다.
[Eq. 24 → Eq. 25]
합성 영역에서 정의된 중적분의 분배 법칙(Eq. 23)을 이용하여 Eq. 24의 결과식을 S와 S'에서의 중적분으로 분배해 줍니다.
[Eq. 25 → Eq. 26]
Eq. 25에서, 표면적 S에서의 중적분을 우변으로 이항하여 정리합니다.
이제 거의 다 끝났습니다. Eq. 26의 좌변을 정리하여 우변과 비교만 해 주면 됩니다.
우선 Eq. 24에서 치환된 부분을 되돌려 Eq. 26의 좌변을 수정해 주도록 하겠습니다.
또한 Q의 표면적 S'에서는 아래의 세 체인룰이 성립합니다. 내용이 너무 길어져 자세한 유도는 생략합니다.
위에서 구한 세 체인룰을 Eq. 27에 직접 대입해 주기만 하면, 식 정리는 거의 마무리됩니다.
[Eq. 27 → Eq. 29]
Eq. 28의 체인룰을 Eq. 27에 직접 적용합니다. s=ε이고, ∂/∂n = ∂/∂s = ∂/∂ε임을 이용하여 해당되는 부분을 모두 바꾸어 줍니다.
[Eq. 29 → Eq. 30]
Eq. 29의 중적분을 입체각(Solid Angle, Ω)에 대한 선적분으로 바꾸어 줍니다. 중적분 dS'는 '원형'의 표면적 S'에서의 적분이므로, S'=4πr임에 따라 적분은 0부터 4π까지의 범위에서 수행됩니다.
[Eq. 30 → Eq. 31]
Eq. 30의 피적분 함수에서, 두 번째 항의 편도함수를 전개합니다. 미분 공식을 이용하면 쉽게 계산할 수 있습니다.
[Eq. 31 → Eq. 32]
대괄호를 풀고, 계수로 취해진 ε^2을 각 항에 분배하여 정리합니다.
이제 정말 마지막으로, Eq. 32에서 ε이 1보다 아주 작은 값이라는 극한을 적용해 주겠습니다.
오일러 공식(Euler's Theorem)만 유의하여 주시면 크게 어려운 건 없습니다.
[Eq. 32 → Eq. 33]
Eq. 32에 극한 ε → 0을 적용합니다.
[Eq. 33 → Eq. 34]
피적분 함수 내 대괄호의 첫 번째 항과 두 번째 항은 모두 0이 됩니다. 세 번째 항의 지수 함수는 오일러 공식에 의하여 exp[-i(k * 0) = cos(k * 0) - i sin(k * 0) = 1이 됩니다. (다들 아시겠지만, cos(0)=1이고 sin(0)=0입니다.)
[Eq. 34 → Eq. 35]
피적분 함수를 모두 합하면 음압 p(t)를 0부터 4π까지 Ω에 대하여 정적분하는 꼴이 됩니다. 피적분 함수 p(t)는 Ω에 대한 직접 의존성이 없으므로, 피적분 함수에 4π가 곱해진 단순한 형태로 식이 정리됩니다.
이를 Eq. 26에 직접 대입하여 최종적으로 적분해를 유도하겠습니다.
[Eq. 26 → Eq. 36]
Eq. 26의 좌변에는 Eq. 35의 결과식을, 우변에는 치환된 V를 다시 되돌립니다.
[Eq. 36 → Eq. 37]
Eq. 36의 좌변에 임의의 위치 Q에서의 음압 p(Q, ω)만을 남겨두기 위해 양 변을 4π로 나눕니다.
[Eq. 37 → Eq. 38]
Eq. 37의 우변 계수에 취해진 음의 부호(-)를 피적분 함수 내로 전개하여 식을 단순화합니다.
[Eq. 38]
폐곡면 S로 정의된 체적 V 내에 고유 각 진동수 ω를 가지는 음파가 존재하는 임의의 음장에서, 폐곡면 S'로 정의된 임의의 위치 Q에서의 음압을 기술하는 Kirchhoff-Helmholtz Integral Solution입니다.
이상입니다.
예상은 했지만, 글이 너무 길어졌습니다.
최대한 쉽게 써 보려고 이것저것 많이 쑤셔 넣다 보니 이런 사태가 발생했습니다.
다음에는 최대한 짧게 쓸 수 있도록 노력은 해 보겠습니다.
모쪼록 오늘 유도한 Kirchhoff-Helmholtz Integral Solution을 이용하면, 음장 내에서 형성되는 구면파의 위치 Q에서의 음압을 정량적으로 구할 수 있습니다.
Q는 음장 내 모든 임의의 위치이므로, Kirchhoff-Helmholtz Integral Solution을 이용하면 사실상 음장 내 모든 위치에서의 음압을 구할 수 있습니다.
추후에 선형 물리 음향학에서 구면파에 대한 내용을 다룰 때 자세하게 설명해 드리겠습니다.
감사합니다.
[Reference]
[1] D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" (in USA), John Wiley & Sons Inc. (2000)