Basic Physics(기초 물리학) :: 단순 조화 운동하는 물리계의 운동 해석
안녕하세요, 애옭입니다!
오늘 우리가 다룰 첫 번째 내용은, 바로 "기초 물리학(Basic Physics)"입니다!
혹시 "음향학을 다룬다면서 왜 뜬금없이 물리학을 한다고 하는 거지?" 라고 생각하시는 애옹이 분들이 계신다면,
바로 "음향학"이 "물리학"의 실질적인 지배를 받고 있는 학문이며, 따라서 "기초적인 물리학적 지식을 알고 있어야 음향학을 이해할 수 있기 때문입니다" 라고 말씀드리고 싶습니다. (❁´◡`❁) (❁´◡`❁)
오늘 내용에는 조금의 수리적 연산과 조작이 포함되어 있지만, 충분히 풀어서 쉽게 설명드릴 것이니 크게 걱정하실 필요는 없습니다!
혹시 중간 중간 이해 안 되시는 내용이 있으시다면, 그건 여러분들이 멍청해서가 아니라 제 글쓰기 실력이 안 좋아서 그런 것이니 넓은 양해를 부탁드리겠습니다 (*/ω＼*)
궁금하신 내용이 있으시다면 바로 댓글 남겨주세요! 시간 되는 대로 열심히 답변해 드리도록 하겠습니다 :)
그럼 기초 진동학 첫 번째 이야기, "단순 조화 운동하는 물리계의 운동 해석" 바로 시작할게요!
'단순 조화 운동(Simple Harmonic Vibration)'이 무엇일까요?
사전적인 정의를 통해 간단히 정리하자면, 운동하는 물리계의 시간에 따른 운동 변화 그래프의 모양이 Sine 함수 또는 Cosine 함수로 기술되는 운동 형태를 의미합니다.
단순 조화 운동의 대표적인 예시로는, (Fig. 1)과 같은 '단진자(Simple Pendulum)'가 있습니다.
단진자의 운동 그래프를 보면, Sine 함수 또는 Cosine 의 모양이 나오는 것을 아주 쉽게 확인할 수 있습니다!
(Sine 함수와 Cosine 함수는 90도의 위상 차이가 있습니다. 따라서, 아래 그래프는 Sine 그래프일 수도, Cosine 그래프일 수도 있습니다!)
(Fig. 1)에서, 평판 A에 고정되어 있는 스프링을 H, 검은색 직사각형체 질량을 M, 운동 방향을 (x - x)라 가정하겠습니다.
'스프링 상수(Stiffness)'는 스프링의 "강성"을 나타내는 물리량입니다.
(Fig. 1)에서 스프링 H의 스프링 상수를 S라 둔다면, 스프링의 압축 또는 팽창에 의하여 운동 방향과는 반대로 작용하는 "복원력(Restoring Force)" f는 스프링 상수 S와 운동 방향 x의 음의 곱으로 (Eq. 1)과 같이 기술됩니다.
(위의 (Eq. 1)에서, 복원력 f는 운동 방향에 대하여 "반대의 방향"으로 작용하여야 하기 때문에, 음의 부호 '-'를 사용합니다!)
복원력 (Fig. 1)은 "힘(Force)"의 성질을 띄므로, 뉴턴의 제2 운동 법칙 F=ma를 만족하여야 합니다.
질량을 m, 스프링과 질량의 가속도 a를 1차원 동차 2계 도함수 (d^2x / dt^2)로 두어 (Eq. 1)을 F=ma에 대입하겠습니다!
아래는 대입된 운동 방정식을 약간의 수학적 조작을 통해 전개하는 과정을 나열한 것입니다.
[Eq. 2]
복원력 f=-Sx이 뉴턴의 제2 운동 법칙에 기반한 질량(m)과 가속도(dv/dt)의 곱과 같음을 대입합니다.
[Eq. 2 → Eq. 3]
우변에서, 가속도 a에 대한 2계 도함수 (d^2x / dt^2)의 계수는 1인 것이 바람직하니, 곱해져 있는 질량 m을 소거하여야 합니다. 양 변에 m의 역수 (1 / m)을 곱하여 우변 도함수의 계수 m을 소거하고, 대신 좌변의 스프링 상수 S의 분모에 추가합니다.
[Eq. 3 → Eq. 4]
좌변의 -(S / m)x을 우변으로 이항 정리하여, 위 운동 방정식이 동차임을 증명합니다.
(미분 방정식에서, (df/dx)-b+c=0의 꼴이 동차입니다!)
[Eq. 4 → Eq. 5]
우변의 스프링 상수 S와 질량 m의 선형비 (S / m)를 '고유 각 주파수(Natural Angular Frequency, ω)'로 치환하여 한번 더 정리 기술합니다. 최종식 (Eq. 5)가 복원력 f의 운동에 대한 운동 방정식입니다!
(Eq. 5)의 해는, 스프링과 질량의 운동 방향에 기반하여 Sine 함수와 Cosine 함수로 각각 기술될 수 있습니다.
(Eqs. 6~10)은 (Eq. 5)의 선형해 A_1sin(wt), A_2cos(wt)가 (Eq. 5)의 실수해임을 증명하는 과정을 나열한 것입니다!
[Eq. 6]
운동 방정식 (Eq. 5)의 두 선형해 x_1, x_2를 가정하겠습니다. 운동 방정식이 2차 미분 방정식이기 때문에 해 또한 두 가지입니다.
[Eq. 6 → Eq. 8]
(Eq. 6)의 해 x_1을 시간에 대하여 두 번 미분합니다. 삼각함수의 미분 공식에 의거 (Eq. 7)과 같이 정리됩니다. 정리된 선형해를 운동 방정식 (Eq. 5)의 2계 도함수 (d^2x / dt^2)에 직접 대입합니다. 그 결과로서, 해 x_1가 참임을 알 수 있습니다.
[Eq. 6 → Eq. 10]
또한, (Eq. 6)의 해 x_2을 시간에 대하여 두 번 미분합니다. 삼각함수의 미분 공식에 의거 (Eq. 9)와 같이 정리됩니다. 정리된 선형해를 운동 방정식 (Eq. 5)의 2계 도함수 (d^2x / dt^2)에 직접 대입합니다. 그 결과로서, 해 x_2가 참임을 알 수 있습니다.
[Eq. 11]
따라서, 운동 방정식 (Eq. 5)의 일반해는 (Eq. 6)에 기술된 두 선형해 x_1, x_2의 선형 조합입니다.
여기까지, 오늘의 주제인 '단순 조화 운동하는 물리계의 운동 해석'의 내용을 모두 살펴보았습니다!
제 기준으로는 최대한 쉽고 간단하며 재미있게 쓰려고 노력했는데, 아직 블로그가 처음이라 부족한 부분이 군데군데 보입니다.
제 글 실력은 점차 시간이 지나면서 나아질 것이니, 조금만 인내심을 가지시고 기다려주시면 감사드리겠습니다 :-D
그럼 이만 글을 마치겠습니다.
끝까지 읽어주신 여러분께 지극히 대단히 무한히 많이 감사드립니다!
2022. 09. 26
애옭 올림
[Reference]
[1] Lawrence E. Kinsler, “Fundamentals of Acoustics” (in USA), John Wily & Sons Inc. (1999)
[2] D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" (in USA), John Wiley & Sons Inc. (2000)
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